椭圆的标准方程例题讲解

例题1：已知椭圆的两个焦点在(-3,0)和(3,0)，且椭圆上某点到两焦点的距离之和为10。求椭圆的标准方程。

解答步骤：

1. 确定主轴方向：焦点在x轴上，说明长轴在x轴，标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)（(a > b)）。

2. 求参数(a)和(c)：

3. 计算(b)：利用关系式 (c^2 = a^2

[

b^2 = a^2

]

4. 写出方程：代入得标准方程为：

[

frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} = 1.

]

例题2：椭圆的中心在原点，焦点在(0, ±4)，且经过点(1, 6)。求其标准方程。

解答步骤：

1. 确定主轴方向：焦点在y轴，标准方程为 (frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1)（(a > b)）。

2. 求参数(c)：焦点到中心的距离 (c = 4)。

3. 代入已知点：将点(1,6)代入方程：

[

frac{1^2}{b^2} + frac{6^2}{a^2} = 1 quad Rightarrow quad frac{1}{b^2} + frac{36}{a^2} = 1.

]

4. 联立方程：结合 (a^2 = b^2 + 16)，代入上式得：

[

frac{1}{b^2} + frac{36}{b^2 + 16} = 1.

]

5. 解方程：令 (t = b^2)，化简得：

[

t^2

]

取正根 (b^2 = frac{53 + sqrt{505}}{2})，则 (a^2 = b^2 + 16)。

6. 写出方程：标准方程为：

[

frac{x^2}{frac{53 + sqrt{505}}{2}} + frac{y^2}{frac{85 + sqrt{505}}{2}} = 1.

]

例题3：椭圆的离心率 (e = frac{3}{5})，焦点在x轴，且经过点(5, 0)。求标准方程。

解答步骤：

1. 确定主轴方向：焦点在x轴，标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)。

2. 求参数(a)：点(5,0)在椭圆上，代入得 (a = 5)。

3. 计算(c)：离心率 (e = frac{c}{a} = frac{3}{5})，得 (c = 3)。

4. 求(b)：利用 (c^2 = a^2

[

b^2 = 25

]

5. 写出方程：标准方程为：

[

frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} = 1.

]

总结：

注意代数运算的准确性，必要时分步验证。